Доказать что 2 иррациональное число. Теория-чисел - Как прямо доказать, что √2 есть число иррациональное? Свойства иррациональных чисел
Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I {\displaystyle \mathbb {I} } в полужирном начертании без заливки. Таким образом: I = R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.
О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Иррациональными являются:
Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален , то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} - целое число , а n {\displaystyle n} - натуральное число .
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .История
Античность
Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены [ ] .
Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу . Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок [ ] .
Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение [ ] .
Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.
Дробь m/n будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим m ^2=2n ^2. Отсюда заключаем, что m^2, а следом за этим и число m - чётное. т.е. m = 2k . Поэтому m ^2 = 4k ^2 и, следовательно, 4k ^2 =2n ^2, или 2k ^2 = n ^2. Но тогда получается, что и n также чётное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие. Остаётся сделать вывод: наше предположение неверно и рационального числа m/n , равного √2, не существует.»
Вот и всё их доказательство.
Критическая оценка доказательства древних греков
Но…. посмотрим на такое доказательство древних греков несколько критично. И если быть более аккуратным в простой математике, то в нём можно увидеть следующее:1) В принятом у греков рациональном числе m/n числа m и n – целые, но неизвестные (то ли они чётные , то ли они нечётные ). И это так! А чтобы как-то установить между ними какую-либо зависимость, надо точно определиться с их назначением;
2) Когда древние определились с тем, что число m – чётное, то в принятом ими равенстве m = 2k они (умышленно или по незнанию!) не совсем «корректно» охарактеризовали число «k ». А ведь здесь число k – это целое (ЦЕЛОЕ!) и вполне известное число, вполне чётко определяющее найденное чётное число m . И не будь этого найденного числа «k » древние не могли бы в дальнейшем «использовать » и число m ;
3) А когда из равенства 2k ^2 = n ^2 древние получили число n ^2 чётное, а вместе с тем и n – чётное, то им надо было бы не спешить с выводом о «возникшем противоречии », а лучше удостовериться в предельной точности принятого ими «выбора » числа «n ».
А как это можно было им сделать? Да, просто!
Смотрите: из полученного ими равенства 2k ^2 = n ^2 можно было элементарно получить и такое равенство k √2 = n . И здесь никак нет ничего предосудительного – ведь получили же они из равенства m/n =√2 другое адекватное ему равенство m ^2=2n ^2 ! И никто им не перечил!Но зато в новом равенстве k √2 = n при очевидных ЦЕЛЫХ числах k и n видно, что из него всегда получают число √2 - рациональное . Всегда! Поскольку в нём числа k и n - известные ЦЕЛЫЕ!
А вот чтобы из их равенства 2k ^2 = n ^2 и, как следствие этого, из k √2 = n получить число √2 – иррациональное (как того «пожелали » древние греки!), то в них необходимо иметь, как минимум , число «k » в виде нецелого (!!!) числа. А этого у древних греков как раз и НЕТ!
Отсюда и ВЫВОД: вышеприведённое доказательство иррациональности числа √2, сделанное древними греками 2400 лет тому назад, откровенно неверное и математически некорректно, если не сказать грубо – оно просто фальшивое .
В показанной выше небольшой брошюрке Ф-6 (см. фото выше), выпущенной в г. Краснодар (Россия) в 2015 году общим тиражом 15000 экз. (очевидно, со спонсорским вложением) приведено новое, предельно-корректное с точки зрения математики и предельно-верное ]доказательство иррациональности числа √2, которое давно могло бы состояться, не будь жёстких "препо н" к изучению древностей Истории.
Материал этой статьи представляет собой начальную информацию про иррациональные числа . Сначала мы дадим определение иррациональных чисел и разъясним его. Дальше приведем примеры иррациональных чисел. Наконец, рассмотрим некоторые подходы к выяснению, является ли заданное число иррациональным или нет.
Навигация по странице.
Определение и примеры иррациональных чисел
При изучении десятичных дробей мы отдельно рассмотрели бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби возникают при десятичном измерении длин отрезков, несоизмеримых с единичным отрезком. Также мы отметили, что бесконечные непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно), следовательно, эти числа не являются рациональными числами , они представляют так называемые иррациональные числа.
Так мы подошли к определению иррациональных чисел .
Определение.
Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами .
Озвученное определение позволяет привести примеры иррациональных чисел . Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).
Следует отметить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются именно в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Обычно они встречаются в виде , и т.п., а также в виде специально введенных букв. Самыми известными примерами иррациональных чисел в такой записи являются арифметический квадратный корень из двух , число «пи» π=3,141592… , число e=2,718281… и золотое число .
Иррациональные числа также можно определить через действительные числа , которые объединяют рациональные и иррациональные числа.
Определение.
Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.
Является ли данное число иррациональным?
Когда число задано не в виде десятичной дроби, а в виде некоторого , корня, логарифма и т.п., то ответить на вопрос, является ли оно иррациональным, во многих случаях достаточно сложно.
Несомненно, при ответе на поставленный вопрос очень полезно знать, какие числа не являются иррациональными. Из определения иррациональных чисел следует, что иррациональными числами не являются рациональные числа. Таким образом, иррациональными числами НЕ являются:
- конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
Также не является иррациональным числом любая композиция рациональных чисел, связанных знаками арифметических операций (+, −, ·, :). Это объясняется тем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел является рациональным числом. Например, значения выражений и являются рациональными числами. Здесь же заметим, что если в подобных выражениях среди рациональных чисел содержится одно единственное иррациональное число, то значение всего выражения будет иррациональным числом. Например, в выражении число - иррациональное, а остальные числа рациональные, следовательно - иррациональное число. Если бы было рациональным числом, то из этого следовала бы рациональность числа , а оно не является рациональным.
Если же выражение, которым задано число, содержит несколько иррациональных чисел, знаки корня, логарифмы, тригонометрические функции, числа π , e и т.п., то требуется проводить доказательство иррациональности или рациональности заданного числа в каждом конкретном случае. Однако существует ряд уже полученных результатов, которыми можно пользоваться. Перечислим основные из них.
Доказано, что корень степени k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k-ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень задает иррациональное число. Например, числа и - иррациональные, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 7 , и не существует целого числа, возведение которого в пятую степень дает число 15 . А числа и не являются иррациональными, так как и .
Что касается логарифмов, то доказать их иррациональность иногда удается методом от противного. Для примера докажем, что log 2 3 является иррациональным числом.
Допустим, что log 2 3 рациональное число, а не иррациональное, то есть его можно представить в виде обыкновенной дроби m/n . и позволяют записать следующую цепочку равенств: . Последнее равенство невозможно, так как в его левой части нечетное число , а в правой части – четное. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение оказалось неверным, и этим доказано, что log 2 3 - иррациональное число.
Заметим, что lna при любом положительном и отличном от единицы рациональном a является иррациональным числом. Например, и - иррациональные числа.
Также доказано, что число e a при любом отличном от нуля рациональном a является иррациональным, и что число π z при любом отличном от нуля целом z является иррациональным. К примеру, числа - иррациональные.
Иррациональными числами также являются тригонометрические функции sin , cos , tg и ctg при любом рациональном и отличном от нуля значении аргумента. Например, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , являются иррациональными числами.
Существуют и другие доказанные результаты, на мы ограничимся уже перечисленными. Следует также сказать, что при доказательстве озвученных выше результатов применяется теория, связанная с алгебраическими числами и трансцендентными числами .
В заключение отметим, что не стоит делать поспешных выводов относительно иррациональности заданных чисел. К примеру, кажется очевидным, что иррациональное число в иррациональной степени есть иррациональное число. Однако это не всегда так. В качестве подтверждения озвученного факта приведем степень . Известно, что - иррациональное число, а также доказано, что - иррациональное число, но - рациональное число. Также можно привести примеры иррациональных чисел, сумма, разность, произведение и частное которых есть рациональные числа. Более того, рациональность или иррациональность чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e и многих других до сих пор не доказана.
Список литературы.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
1.Доказательство является примерами дедуктивного рассуждения и отличаются от индуктивных или эмпирических аргументов. Доказательство должно продемонстрировать, что доказываемое утверждение всегда верно, иногда путем перечисления всех возможных случаев и показывая, что утверждение выполняется в каждом из них. Доказательство может опираться на очевидные или общепринятые явления или случаи, известные как аксиомы. Вопреки этому, доказывается иррациональность “корня квадратного из двух”.
2.Вмешательство топологии здесь объясняется самой природой вещей, что означает, что чисто алгебраического способа доказательства иррациональности, в частности, исходя из рациональных чисел нет.Вот пример, за вами право выбора: 1+1/2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 или 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Если вы примете 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, что считается “алгебраическим” подходом, то совсем не составляет труда показать, что существует n/m ∈ ℚ, которое на бесконечной последовательности является иррациональным и конечным числом.Это подсказывает, что иррациональные числа являются замыканием поля ℚ, но это относится к топологической особенности.
Так для чисел Фибоначчи, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim{F(k+1)/F(k)} = φ
Это лишь показывает, что существует непрерывный гомоморфизм ℚ → I, и можно показать строго, что существования такого изоморфизма не является логическим следствием алгебраических аксиом.Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число . Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.
Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например , квадратный корень из двух - является числом иррациональным.
Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.
Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:
Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.
Свойства иррациональных чисел.
- Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
- Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
- Всякое вещественное трансцендентное число - это иррациональное число.
- Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
- Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
- Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
- Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
- Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
- Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
- Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).
Иррациональные числа, примеры.
γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ